Aliran di dalam silinder
precessing tinggi H dan jari-jari R, penuh cairan dari kinematik viskositas ν
dianggap. Silinder ini berputar di Ω1 frekuensi sudut sekitar porosnya. Hal ini
dipasang pada platform yang ro-tates di Ω2 frekuensi sudut seperti yang
ditunjukkan pada Gambar 1. Sudut antara dua sumbu rotasi adalah Preces-sion
sudut θ. Berikut ini, variabel yang dibuat berdimensi dengan menggunakan R dan
Ω = Ω1 + Ω2 cos θ sebagai characteris-tic panjang dan frekuensi. Dinamika
sistem precessing ini tergantung pada empat nomor berdimensi:
- Aspek rasio h = H / R;
- The ω rasio frekuensi = Ω1 / Ω;
- Nomor Rossby Ro = Ω2 sin θ / Ω;
- Bilangan Reynolds Re = ΩR2 / ν.
Eksperimental set-up dibangun di
laboratorium, memungkinkan-ing Partikel Gambar Velocimetry (PIV) pengukuran
bidang kecepatan dalam bagian melintang silinder.
Untuk melakukan akuisisi lapangan
PIV, kecil mark-ers diterangi dengan cahaya lembaran tipis yang dibuat oleh
laser Yag berdenyut digunakan. Gambar partikel direkam oleh kamera yang
dipasang pada platform berputar. Kecepatan horizontal dan bidang vortisitas
aksial dalam kerangka silinder acuan dengan demikian diukur. Rincian lebih lanjut
tentang pengobatan PIV dapat ditemukan di [10] dan deskripsi yang tepat dari
percobaan set-up diberikan dalam [11].
Aliran 3 Basis
Dalam Gambar 2a dengan vortisitas
aliran aksial menunjukkan dalam kerangka acuan silinder untuk kecil Rossby
num-ber: Ro = 0,0031, dan sejumlah Reynolds moderat: Re = 3500. Dua kontra
vortisitas berputar diamati. Hal ini sesuai dengan mode Kelvin yang dipaksa
oleh pra-penyerahan. Karena waktu dan ketergantungan azimut presesi yang
memaksa, modus Kelvin ini memiliki azimut bilangan gelombang m = 1 dan ω
frekuensi sudut (lihat [12]). Medan kecepatan adalah
Vb = AVB (r, z) ei (ωt + φ) + c.c
(1)
dimana A adalah amplitudo, cc
menunjukkan kompleks conju-gerbang dan
vb (r, z) = ub (r) sin (kz) vb
(r) sin (kz)
wb (r) cos (kz) ωrδJ1 (δr) + 2J1
(δr) ub (r) = i 2R (ω2 - 4)
dengan 2rδJ (δr) + ωJ1 (δr) (2)
(r) = 1 v b 2 2r (4) - ω k wb (r) = i 2ω J1 (δr)
190 R. Lagrange et al .:
M'ecanique & Industri 10, 187-194 (2009)
amplitudo A menyimpang. Sebuah
kental [13] dan lemah nonlin-ear [11] Teori ini kemudian diperlukan untuk
memprediksi saturasi amplitudo. Gambar 2b merupakan kejenuhan mode Kelvin
pertama sebagai fungsi Re selama tiga reso- pertama
nances. Kami menunjukkan [11]
bahwa untuk bilangan Reynolds kecil
(Rezim kental, Re1 / 2Ro 2/3 _
1), A timbangan sebagai Ro Re karena kental proyek-e ff di lapisan Ekman. Untuk
bilangan Reynolds lebih besar (rezim nonlinear, Re1 / 2Ro2 / 3 _ 1)), A
timbangan sebagai RO1 / 3.
Ketidakstabilan
Seperti ditunjukkan dalam
literatur [5, 6], aliran di dalam silinder pra-pemrosesan menjadi tidak stabil
ketika Reynolds atau nomor Rossby meningkat. Gambar 3 adalah PIV mea-surement
dari aksial dan bidang vortisitas sesaat untuk Re = 6500 dan Ro = 0,0031. Untuk
nilai seperti Re dan Ro aliran digambarkan pada Gambar 2a tidak stabil dan mode
un-stabil menunjukkan sebuah cincin dengan 10 lobus dari vortisitas dengan
tanda-tanda alternatif. Hal ini sesuai dengan mode bebas Kelvin dengan azimut
wavenumber m1 = 5. medan kecepatan nya adalah
V1 = A1v1 (r, z) ei (ω1t + m1φ) +
c.c (5)
dimana
u1 (r) sin (k1z)
Bidang vortisitas
mode Kelvin pertama diukur dengan PIV pada resonansi pertama, dengan tidak
adanya ketidakstabilan (h = 1,62, ω = 1,18, Re ≈ 3500, Ro = 0,0031). (B)
Amplitude mode pertama Kelvin diperoleh pada pertama (garis utuh), kedua (garis
putus-putus) dan ketiga (garis putus-putus) resonansi. Simbol adalah hasil
eksperimen (h = 1,8, θ = 2◦).
Parameter δ memenuhi hubungan
konstitutif
δ2 = 4 - ω2 k2 (3)
ω2
dimana aksial wavenumber k
tergantung pada ω sesuai dengan dispersi hubungan berikut dengan m = 1
ωδJm (δ) + 2mJm (δ) = 0 (4)
Pada ω diberikan dispersi
hubungan ini memiliki num-ber tak terbatas solusi. Setiap solusi sesuai dengan
mode Kelvin paksa di ω frekuensi. Hal ini sesuai dengan modus dengan terkecil aksial
bilangan gelombang k.
Sebuah linier klasik dan teori
inviscid dapat memprediksi amplitudo A dari mode Kelvin paksa. Teori ini
menunjukkan bahwa A ~ Ro dan tergantung pada ω. Namun, ketika mode resonan
(yaitu k = nπ / h, dengan n ganjil) yang
v1 (r, z) = v1 (r) sin (k1z)
W1 (r) cos (k1z)
ω1rδ1J (δ1r) + 2m1Jm (δ1r)
u1 (r) = 2i m1 1
r (ω12 - 4)
dengan 2rδ1J (δ1r) + m1ω1Jm1
(δ1r)
(R) = 2 m1
v 2
k r (4 - ω1)
(Δ1r)
W1 (r) = 2i ω1 Jm11 (6)
Dalam (5) dan (6), ω1 adalah
frekuensi berdimensi mode m1 = 5 dan k1 wavenumber aksial. Param-eter δ1
memenuhi hubungan konstitutif (3) dengan ω1 dan k1 bukan ω dan k. Parameter ω1
dan δ 1 juga memenuhi hubungan dispersi (4) dengan m = 5.
Mode Kelvin bebas kedua jika
posisi lembar Laser PIV dipindahkan dari z = h / 4 sampai z = 0 (mid-tinggi
silinder) diamati. Ini menunjukkan 12 lobus dari vor-ticity dengan tanda
alternatif dan dengan demikian sesuai dengan mode Kelvin gratis yang azimut
wavenumber adalah m2 = 6. medan kecepatan nya adalah
V2 = A2v2 (r, z) ei (ω2t + m2φ) +
c.c (7)
R. Lagrange et al .: M'ecanique
& Industri 10, 187-194 (2009) 191
Gambar. 4. (a) hubungan
dispersi mode Kelvin. Garis tebal (garis resp. Putus-putus) sesuai dengan lima
cabang pertama dari mode Kelvin dengan azimut wavenumber m1 = 5 (resp. M2 = 6).
Garis padat telah diterjemahkan oleh k = π / h dan garis putus-putus telah
diterjemahkan oleh ω = 1,18. Verti-cal garis putus-putus sesuai k = nπ / h,
dengan n bilangan bulat. (B) jumlah Kritis Rossby sebagai fungsi dari bilangan
Reynolds. Lingkaran merupakan eksperimen yang stabil dan segitiga tidak stabil
mantan periments. Teori diwakili menggunakan kurva hijau solid. h = 1,62, ω =
1,18.
analitis dihitung (lihat Kudlick
[15] untuk kasus khusus dari mode Kelvin dengan azimut bilangan gelombang m = 1
dan dengan ω = 1).
Mencari A1 dan A2 dengan
eksponensial waktu de-pendence eσt, persamaan untuk σ tingkat pertumbuhan
adalah sebagai berikut
1 1 1 1 =
σ + √Re S1 + Re V1 σ + √Re S2 +
Re V2
| A | 2 N1N2 (13)
Tabel 1. Nilai parameter untuk
aliran dasar (pada resonansi pertama) dan dua gratis Kelvin mode m1 = 5 dan m2
= 6, h = 1,62.
ω k f S ξ
1,18 1,939-0,452 1.86 - 0.42i
0,165
ω1 k1 S1 V1 ξ1 N1
- 0,416 1,940 1,605 - 87,159
-0,066 -0,418 0.058i
ω2 k2 S2 V2 ξ2 N2
0,766 3.880 1,813 - 0.129i
102,676 -0,365 -0,614
Tingkat pertumbuhan The√inviscid
ketidakstabilan ini kemudian σ = | A | N1N2. Studi tentang tanda-tanda N1 dan
N2 (diberikan oleh (10) dan (11)) menunjukkan bahwa mode Kelvin gratis-sociated
ke titik persimpangan antara cabang hubungan dis-persion dengan monoton yang
sama tidak dapat menyebabkan ketidakstabilan. Fakta ini digarisbawahi
menggunakan energik meth-ods berdasarkan [16].
Termasuk kental e ff ect dalam
kalkulus σ kami menunjukkan bahwa untuk h = 1,62 dan ω = 1,18 (resonansi
pertama mode Kelvin pertama) interaksi antara mode Kelvin gratis dengan
wavenumbers azimut sama dengan 5 dan 6 adalah yang paling tidak stabil, seperti
yang diamati dalam eksperimen. Kami juga diplot diagram stabilitas di bidang (Re,
Ro) pada Gambar 4b. Ini menunjukkan (kurva padat hijau) bahwa jumlah Rossby
kritis skala sebagai Re-3/2 untuk Re _ 3000 dan sebagai Re-1 untuk Re _ 3000.
dua faktor skala tersebut juga dikonfirmasi oleh pengukuran PIV.
5 Teori Lemah nonlinear
Hal ini dimungkinkan untuk
menambah interaksi nonlinier antara modus erent di ff. Hasilnya mode tambahan
dengan simetri silinder dan yang struktur, ditentukan secara eksperimental,
adalah
V0 = A0J5 (d2r) uφ (14)
Dalam ungkapan ini A0 adalah
amplitudo modus geostropik, d2 adalah akar kedua J5 (yaitu d2 = 12,339) dan uφ
adalah vektor satuan dasar silinder.
Mode ini sangat penting karena
jenuh tingkat pertumbuhan ketidakstabilan berkat 'detuning' e ff Ects. The
dy-namics aliran precessing kemudian sepenuhnya ditentukan oleh persamaan
amplitudo berikut
(a) Amplitudo gratis
Kelvin modus m1 = 5 sebagai fungsi dari waktu berdimensi, untuk ff erent nomor
Reynolds tiga di. Untuk Re = 4000 (garis putus-putus biru) aliran stabil. Untuk
Re = 5000 (garis utuh hijau) aliran tidak stabil dan stasioner. Untuk Re = 6000
(garis merah putus-putus) alirannya unsta-ble dan intermiten: h = 1,62, ω =
1,18, Ro = 0,0031. (B) Amplitudo gratis Kelvin modus m1 = 5 sebagai fungsi dari
Ro. Bifurkasi untuk transisi dari aliran stabil untuk arus yang tidak stabil
adalah subkritis. Salah satu yang sesuai dengan transisi dari aliran yang tidak
stabil dan stasioner ke aliran un-stabil dan terputus-putus adalah superkritis.
Intinya tetap dihitung dari teori lemah nonlinear diwakili oleh kurva merah
terus menerus dan diperpanjang dengan menggunakan garis putus-putus ketika
aliran menjadi tidak stabil dan terputus-putus. Kurva ungu terus menerus mewakili
maksimum dan minimum osilasi dari A1. Hijau segitiga (resp. Red) merupakan
eksperimen yang tidak stabil dan stasioner (resp. Stabil dan intermiten).
Parameter adalah: h = 1,62, ω = 1,18, Re = 3664.
(B)
Amplitudo mode m1 = 5
(a) dan modus dasar (b) sebagai fungsi dari RoRe (Volume kental e ff ects
diabaikan). Intinya tetap (kurva kontinu merah dan kemudian terputus)
dibandingkan dengan rata-rata eksperimental val-nilai-_A1_ et _A_. Nilai-nilai
ini diwakili oleh lingkaran biru (aliran stabil), segitiga hijau (tidak stabil
dan stasioner aliran) atau segitiga merah (tidak stabil dan aliran intermiten).
Parameter adalah: h = 1,62, ω = 1,18.
Syarat ξA0A, ξ1A0A1 dan ξ2A0A2
adalah 'detuning' ef-garuhi disebutkan sebelumnya. Mereka dapat dihitung ana-lytically
(lihat [11]). Syarat χ1 | A1 | 2 dan χ2 | A2 | 2 mewakili interaksi nonlinier
mode Kelvin gratis dengan itu diri. Mereka diasumsikan sama dan mereka dipasang
dari percobaan (χ1 = χ2 = 10 000).
Sebuah solusi numerik (15)
ditunjukkan pada Gambar 5a. Parameter yang diberikan pada Tabel 1. Gambar 5a
merupakan evolusi temporal A1 sebagai fungsi dari bilangan Reynolds, untuk h =
1,62 dan ω = 1,18. Untuk nomor Reynolds sedikit di atas ambang batas,
ketidakstabilan duduk-urat dan amplitudo (A1 tetapi juga A, A2 dan A0) yang
stasioner. Amplitudo menjadi berselang ketika
194 R. Lagrange et al .:
M'ecanique & Industri 10, 187-194 (2009)
Bilangan Reynolds meningkat, dan
dinamika bahkan bisa menjadi kacau untuk nomor Reynolds sangat tinggi. Ini
dynam-ics dikonfirmasi oleh percobaan (Gambar. 5b). The resolu-tion (15) juga
menunjukkan bahwa ketidakstabilan adalah subkritis (Gambar. 5b). Eksperimental,
kami tidak dapat memverifikasi sifat bifurkasi karena akan membutuhkan
bervariasi sudut precessing dengan penambahan 1/100 derajat.
Untuk Re tinggi, teori
menunjukkan bahwa titik tetap dari persamaan amplitudo hanya tergantung pada
RERO (Gbr. 6). Amplitudo A1 (resp. A) skala sebagai RO1 (RO1 resp. / 2) / 4
untuk tinggi RERO. Dengan membandingkan titik tetap ini dengan nilai rata-rata
eksperimental amplitudo (_A_ et _A1_), kami mengamati bahwa kerak yang
diawetkan dan tetap relevan bahkan jika aliran menjadi turbulen.
ConversionConversion EmoticonEmoticon